Przejdź do zawartości

Dwunastościan rombowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Dwunastościan rombowy
Dwunastościan rombowy
(Kliknij, aby zobaczyć animowany model)
Typ Wielościan Catalana
Ściana romb
Liczba ścian 12
Liczba krawędzi 24
Liczba wierzchołków 14 = 6 + 8
Wielościan dualny Sześcio-ośmiościan

Dwunastościan rombowywielościan mający 12 ścian, 14 wierzchołków i 24 krawędzie. Wszystkie ściany są przystającymi rombami, w których stosunek długości przekątnych jest równy skąd wynika, że kąt ostry każdej ściany jest równy

W każdym wierzchołku wielościanu spotykają się 3 lub 4 ściany. W ośmiu wierzchołkach stykają się kątami rozwartymi 3 romby, zaś w pozostałych sześciu wierzchołkach stykają się kątami ostrymi 4 romby. Krótsze przekątne wszystkich ścian są krawędziami sześcianu. Dłuższe przekątne ścian są krawędziami ośmiościanu foremnego. Miarą kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami jest

Dwunastościan rombowy jest wielościanem Catalana dualnym do sześcio-ośmiościanu i dlatego grupa symetrii bryły działa przechodnio na zbiorze ścian. Przechodniość ta oznacza, że dla dwóch ścian i istnieje obrót lub symetria przekształcające bryłę na siebie, a ścianę na ścianę
Grupa symetrii dwunastościanu rombowego działa także przechodnio na zbiorze krawędzi tej bryły.

Sfery związane z dwunastościanem rombowym

[edytuj | edytuj kod]
Dwunastościan rombowy (czarne krawędzie) i dualny z nim sześcio-ośmiościan (zielone krawędzie).

Jeśli długość krawędzi dwunastościanu rombowego jest równa to długości promieni niektórych sfer są następujące:

  • promień sfery stycznej do wszystkich 24 krawędzi:
każdy punkt styczności leży w odległości krawędzi od wierzchołka, w którym zbiegają się 3 krawędzie,
chodzi o najmniejszą sferę „zamykającą w sobie” dwunastościan rombowy, przechodzi ona przez 6 wierzchołków, w których zbiegają się 4 krawędzie tej bryły.

Pole i objętość

[edytuj | edytuj kod]

Pole powierzchni i objętość dwunastościanu rombowego o krawędzi są równe:

Występowanie w przyrodzie

[edytuj | edytuj kod]
Kryształ granatu

Niektóre kryształy występujące w przyrodzie przybierają formę dwunastościanu rombowego[1]. Są to przede wszystkim kryształy granatu, ale tę formę przyjmuje wiele innych minerałów, na przykład magnetyt, sodalit, spinel i sfaleryt.

Pszczoły używają geometrii tej bryły do tworzenia plastrów miodu, których komórki są graniastosłupami prawidłowymi, sześciokątnymi zamkniętymi połówkami dwunastościanu rombowego.

Jak można sobie wyobrazić kształt dwunastościanu rombowego

[edytuj | edytuj kod]
Wypełnienie przestrzeni przystającymi dwunastościanami rombowymi.

Krótkie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami rozwartymi są krawędziami i wierzchołkami sześcianu o objętości równej połowie objętości samego dwunastościanu. Długie przekątne rombów, i wierzchołki, w których romby stykają się kątami ostrymi, są krawędziami i wierzchołkami ośmiościanu foremnego.

Ten dwunastościan można skonstruować, wychodząc z sześcianu, w następujący sposób: budujemy ostrosłup, którego podstawą jest ściana, a wierzchołkiem lustrzane odbicie środka sześcianu w płaszczyźnie ściany, powiększając sześcian o ten ostrosłup; powtarzając to dla wszystkich ścian uzyskamy dwunastościan rombowy, a użyte ostrosłupy będą składać się na kompletny sześcian – więc objętość dwunastościanu będzie 2 razy większa.

Powyższe wywody można zilustrować w układzie współrzędnych w przestrzeni:

  • Punkty są wierzchołkami sześcianu o ścianach rozpiętych na sześciu czwórkach punktów:
  • Do powyższych 8 punktów dołączamy 6 następnych: Są one obrazami początku układu współrzędnych w symetrii względem poszczególnych ścian, np. punkt jest obrazem w symetrii względem ściany a punkt – w symetrii względem ściany
  • 14 wyżej wymienionych punktów jest wierzchołkami dwunastościanu rombowego[2].

Takie dwunastościany mogą wypełnić przestrzeń – żeby skonstruować taki układ wystarczy wyjść z układu sześcianów wypełniających przestrzeń, usunąć z nich co drugi, tak aby z każdych dwóch o wspólnej ścianie jeden został usunięty, i pozostałych użyć do konstrukcji dwunastościanów, odbijając ich środki względem sześciu ścian.

Wielościany pokrewne

[edytuj | edytuj kod]

Dwunastościan rombowy jest elementem ciągu wielościanów rombowych i parkietaży, których grupa symetrii jest [n, 3] grupą Coxetera. Sześcian (geometria) może bowiem być uważany za sześciościan rombowy, gdzie romby są kwadratami.

Wielościan Parkietaż euklidesowy Parkietaż hiperboliczny
[3, 3] [4, 3] [5, 3] [6, 3] [7, 3] [8, 3]

Sześcian

Dwunastościan rombowy

Trzydziestościan rombowy

Związki z bryłami czterowymiarowymi

[edytuj | edytuj kod]

Czterowymiarowym odpowiednikiem dwunastościanu rombowego jest 24-komórka[3] (jest to komórka foremna[4]).

Jej wierzchołkami są:

  • 16 wierzchołków czterowymiarowego odpowiednika sześcianu – 8-komórki: Jej 3-wymiarowymi ścianami są sześciany rozpięte na ośmiu ósemkach punktów:
  • Ponadto wierzchołkami 24-komórki są obrazy środka układu współrzędnych w ośmiu ścianach:

Przekrój 24-komórki przestrzenią 3-wymiarową prostopadłą do największej przekątnej w jej środku jest dwunastościanem rombowym. Wynika to z powyższych opisów obu figur geometrycznych w układzie współrzędnych kartezjańskich.

Dwunastościan jest także otoczką wypukłą rzutu prostokątnego 8-komórki wzdłuż wielkiej przekątnej. Ilustruje to rysunek poniżej. Rzut zielonych punktów jest wtedy środkiem dwunastościanu.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. W warszawskim Muzeum Ziemi jeden z wystawionych w ekspozycji kryształów ma formę dwunastościanu rombowego.
  2. Ilustracja ta jest analogiczna do konstrukcji 24-komórki podanej w cytowanej książce Marcela Bergera na s. 490–491.
  3. Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984, s. 490–494.
  4. Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956, s. 135–149.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • The Geometrical Foundation of Natural Structure (Section 3-9)
  • Magnus Wenninger: Dual Models. Cambridge University Press, 1983. DOI: 10.1017/CBO9780511569371. MR730208. ISBN 978-0-521-54325-5.
  • The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 19, Rhombic dodecahedron
  • The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 285, Rhombic dodecahedron)
  • Marcel Berger: Géométrie (tłum. na jęz. ros.). Москва: Мир, 1984.
  • Hilbert D., Cohn-Vossen S.: Geometria poglądowa (tłum. z jęz. niem.). Warszawa: PWN, 1956.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]

Modele komputerowe

[edytuj | edytuj kod]

Projekty papierowe

[edytuj | edytuj kod]

Zastosowania praktyczne

[edytuj | edytuj kod]